ressort efom 2000

E.F.O.M 2000

oscillateur mécanique

Deux ressorts R₁ et R₂ de constante de raideur K₁ et K₂ sont reliés entre eux par un crochet B, de masse négligeable. La masse m peut glisser sans frottement sur une tige horizontale.

1. On note x₁ et x₂ les élongations respectives à un instant t des 2 ressorts. Chaque élongation est comptée à partir de la position à vide du ressort correspondant. En appliquant le théorème du centre d'inertie au crochet B, établir la relation entre x₁ et x₂.
2. Exprimer x₁ en fonction de k₁, k₂ et de l'élongation totale x des 2 ressorts (avec x = x₁+x₂) .De même exprimer x₂ en fonction de k₁, k₂ et x.
3. Exprimer la somme des énergies potentielles élastiques des 2 ressorts en fonction de k₁, k₂ et x.
4. En utilisant la relation traduisant la conservation de l'énergie mécanique de ce système, établir l'équation différentielle de cet oscillateur (R₁, R₂ ,m). Exprimer sa pulsation propre w₀ en fonction de k₁, k₂ ,m.

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corrigé

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principe des actions mutuelles en B

x = x₁+x₂ et x₂ = k₁ x₁ / k₂d'où : x₁= x-k₁ x₁ / k₂
x₁ = k₂ x / (k₁+k₂) de même x₂ = k₁ x / (k₁+k₂)

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énegie potentielle élastique d'un ressort : 0,5 k x². 0,5 k₁ x₁² + 0,5 k₂ x₂².
remplacer x₁ et x₂ par les expressions ci dessus.
mettre k₁k₂ / (k₁+k₂)² en facteur commun.
Ep =0,5 k₁k₂ / (k₁+k₂) x²

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énergie mécanique = énergie cinétique + énergie potentielle. écrire la conservation de l'énergie mécanique du système constitué par les 2 ressorts et la masse m.
Em = 0,5 mv²+ 0,5 k₁k₂ / (k₁+k₂) x² = constante
dériver par rapport au temps ( u²)' = 2uu'
0,5 m *(2v'v) +0,5 k₁k₂ / (k₁+k₂) *(2xx') = 0
remarquer que x' =v et x"=v'
m x" x' + k₁k₂ / (k₁+k₂) x x' =0
diviser par x' chaque therme :
mx" + k₁k₂ / (k₁+k₂) x =0
cette expression liant la dérivée seconde x" et la fonction x est l'équation différentielle cherchée.