Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.
Etude du premier trapéziste.
Le trapéziste de masse mA est lancé d'un point O avec une vitesse initiale v0, contenue dans le plan vertical Oxy et faisant un angle q avec l'axe horizontal Ox.
Ce trapéziste est soumis à une force de frootement proportionnelle à la vitesse v :
Q : Etablir l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse caractérisant le mouvement.
Etude sur l'axe horizontal Ox.
Q : Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vx de la vitesse.
-kvx = mAdvx/dt ; dvx/dt + k /mA vx = 0.
Q : En déduire à l'aide des conditions initiales la composante vx( t).
vx( 0) = v0 cos q.
vx = A exp(-k /mA t) et à t = 0 : vx( 0) = v0 cos q.
vx = v0 cos q exp(-k /mA t)
Q : En intégrant l'équation précédente, déduire l'équation horaire x(t).
L'abscisse est une primitive de la vitesse : x =-mA / k v0 cos q exp(-k /mA t) +B
A t = 0, x(0) = 0 ; par suite B =mA / k v0 cos q
x = mA / k v0 cos q( 1- exp(-k /mA t)).
Etude sur l'axe horizontal Oy.
Q : Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vy de la vitesse.
-mAg-kvy = mAdvy/dt ; dvy/dt + k /mA vy +g = 0. (1)
Q : En déduire à l'aide des conditions initiales la composante vy( 0).
vy( 0) = v0 sin q.
Solution générale de dvy/dt + k /mA vy = 0 : vy = A' exp(-k /mA t)
Solution particulière de (1) : vy =-mAg/ k.
Solution générale de (1) : vy = A' exp(-k /mA t) - mAg/ k.
vy( 0) = v0 sin q=A'-mAg/ k.
A' = v0 sin q+ mAg/ k.
vy =v0 sin q exp(-k /mA t) + mAg/ k( exp(-k /mA t)-1).
Q : On admet que :
Que deviennent les composantes vx et vy de la vitesse lorsque t tend vers l'infini ?
Quand t est supérieur à 5 * mA/ k, l'exponentielle tend vers zéro : vx = v0 cos q exp(-k /mA t) tend vers zéro.
vy =v0 sin q exp(-k /mA t) + mAg/ k( exp(-k /mA t)-1) tend vers : - mAg/ k.
Q : Montrer que lorsque t tend vers l'infini, la trajectoire admet une asymptote.
Q : Donner l'allure de la trajectoire de A.
Quand t est supérieur à 5 * mA/ k, vy -----> - mAg/ k, droite verticale, tandis que vx s'annule.
De plus la vitesse correspond à la pente de la tangente à la trajectoire.
x(t) = mA / k v0 cos q( 1- exp(-k /mA t)) tend vers : mA / k v0 cos q.
Q : La trajectoire admet une asymptote d'équation x = mA / k v0 cos q.
Donner l'allure de la trajectoire de A.
Dans la question suivante, on néglige les frottements..
Q : Quelles sont les équations horaires du mouvement de A ? En déduire l'équation de la trajectoire.
Trajectoire de B placé en réception.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste B asimilé à son centre d'inertie, de masse mB se balance sur un trapèze assimilé à un pendule, constitué d'un fil inextensible de longueur L, de masse mP.
On posera m = mA + mP. On prendra l'état d'équilibre pour l'état de référence de l'énergie potentielle.
Le trapéziste s'élance sans vitesse initiale à la date t=0, d'une hauteur h au dessus du sol, le trapèze faisant un angle a0 avec la verticale.
A une date quelconque t, la position du trapèze est repérée par l'angle a que fait le fil avec la verticale.
Q : Etablir à la date t, en fonction de m, g, L et a :
- l'expression de l'énergie potentielle :
Système : trapèze + trapéziste.
On recherche le barycentre G de B et F ( centre d'inertie du fil ). G0 est l'origine de l'énergie potentielle.
OG = L-ß L= l.
Altitude de G : l(1-cos a)
Energie potentielle de pesanteur : Epot = m g l(1-cos a).
Q : - expression de l'énergie cinétique.
Ec = ½m v2.
Q : - expression de l'énergie mécanique.
E= ½m v2+m g l(1-cos a).
Q : Justifier que l'énergie mécanique se conserve.
Seul le poids travaille; la tension du fil est perpendiculaire à la vitesse, elle ne travaille pas.
Le poids est une force conservative : l'énergie mécanique reste constante.
Q : Equation différentielle vérifiée par a. ( on admettra que l'approximation des petits angles est valable sin a ~a)
Dériver E par rapport au temps : 0 = mv v' + mg l sin a a' ; v v' + gl a a' ~0.
or v = a' l et v' = a'' l d'où : a'' l + g a ~0.
a'' + g /l a ~0 ; on pose w2 =g /l .
a'' + w2 a ~0
Q : La solution est supposée de la forme a(t) = A cos (Bt+C) avec A>0.
A l'aide des conditions initiales et de l'équation différentielle, déterminer A, B et C.
B = w = (g /l)½.
a(0) = A cos C = a0.
Vitesse a' = -AB sin(Bt+C) : la vitesse initiale est nulle : 0 = -AB sin C ; A et B ne sont pas nuls donc C = 0 ou p.
Si C = p, alors -A = a0. Cela ne convient pas car A est positif.
a(t) = a0 cos ((g /l)½t).
Q : Lorsque, au cours du mouvement le trapéziste se balance, il est soumis à une force T due au fil.
Montrer que la valeur de T au point M de la trajectoire peut s'exprimée par la relation :
T = m( v2E/ l + g ( 3 cos a-2)) où vE est la vitesse au passage à la position d'équilibre.
La conservation de l'énergie mécanique s'écrit : ½m v2+m g l(1-cos a) = ½mv2E.
v2= v2E- 2g l(1-cos a) = v2E- 2g OG(1-cos a).
La figure d'accrochage.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste A de masse 80 kg s'élance à la date t=0 de O à la vitesse de 20 m/s avec un angle q = 45 °. Le trapèze se trouve à la distance d = 20 m du trapéziste A et à une hauteur de 10 m au dessus du sol. Le fil du trapèze a une longueur L = 5,0 m.
On prendra g = 10 SI ; p~3 ; 2½ ~1,4.
Initialement le trapéziste B se trouve au point B0 ( 21 m ; 10,27 m )
Q : A quelle date, ce trapéziste B doit-il s'élancer pour récupérer le trapéziste A au point S ( 20 m ; 10 m) après avoir effectué 2 oscillations.
Trajectoire de A : x = v0 cos q t = 20 cos 45 t = 20*0,707 t = 14,14 t.
y = -5 t2 + 20 sin 45 t = -5t2 +14,14 t.
A la date de la rencontre : x= 20 soit t = 20/14,14 = 1,4 s
Trajectoire de B : a(t) = a0 cos ((g /l)½t).
(g /l)½= (10/5)½ = 1,4 rad/s ; a(t) = a0 cos(1,4 t).
Période T = 2 p / w = 2*3/1,4 = 4,3 s.
Deux oscillations correspondent à 2 périodes.
Pour attrapper A il doit effectuer 2,25 oscillations ( dans l'hypothèse où le trapèze passe par la position d'équilibre )
durée de 2,25 oscillations : 4,3*2,25 =9,7 s.
B doit donc s'élancer 9,7-1,4 = 8,3 s avant A.
