Quelques formules permettant de caractériser un régime pseudo-périodique :
On montre que pour des dates t = kT ( avec k entier ), la tension uC se calcule par la relation :
uC(kT) = E exp(-kRT / (2L))
On définit le décrément logarithmique par la relation : d = ln uC(kT) / ln uC((k+1)T)
Le facteur de qualité d'un régime pseudo-périodique se calcule par la relation : Q = 2 pi / d.
Calculer la valeur de la pseudo-période T ( en ms).
T ~T0 = 2pi (LC)½ =6,28 (0,250 *2,00 10-6)½ =4,44 10-3 s = 4,44 ms.
Déterminer la résistance R du conducteur ohmique.
uC(T) = E exp(-RT / (2L)) = 19,7 ; ln (25/19,7) =0,2383 = RT / (2L)
R = 0,2383*2L / T = 0;2383*2*0,25 / 4,44 10-3 =28,6 ohms.
Calculer l'énergie perdue par effet Joule ( en µJ) au bout des 5 premières périodes.
Energie initiale stockée par le condensateur : ½CE2 = 0,5*2,00 10-6 *252 = 625 10-6 J = 625 µJ.
uC(5T) = E exp(-5RT / (2L)) = 25 exp(-5*28,6*4,44 10-3 / 0,5) =7,02 V.
Energie finale ( t = 5 T) stockée par le condensateur : 0,5*2,00 10-6 *7,022 = 49,3 10-6 J = 49,3 µJ.
Energie perdue par effet Joule : 625-49,3 =575,7 ~576 µJ.
Calculer le facteur de qualité Q0 ( sans unité ) du circuit.
d0 = ln uC(kT) / ln uC((k+1)T) = ln uC(0) / ln uC(T) = ln 25 / ln 19,7 =1,08.
Q0 = 6,28 / 1,08 = 5,82.
On veut que le facteur de qualité soit divisé par 2.
Quelle doit être la valeur de R ( en ohms) ?
ln uC(T) =ln uC(0) /(2d0) = ln25 / 2,16 =1,49 ; uC(T) =4,438 V.
uC(T) = E exp(-RT / (2L)) = 4,438 ; ln (25/4,438) =1,728 = RT / (2L)
R = 1,728*2L / T = 1,728*2*0,25 / 4,44 10-3 =195 ohms
